Математические знаки

Применение

Разумный вопрос, который рано или поздно возникает у человека, только начавшего изучать математику – зачем вообще нужен квадратный корень? Конечно, он, может, никогда и не пригодится уборщице тёте Люсе или дворнику дяде Васе, но для более образованного человека квадратный корень всё же нужен.

Начнём с того, что квадратный корень нужен для вычисления диагонали прямоугольника. Ну и что с того? – спросят многие. А с того, что это нужно для качественного ремонта, чтобы правильно и аккуратно разложить линолеум, сделать навесной потолок и для проведения многих других работ в сфере строительства.

Ведь дома и квартиры строят люди, вещи и материалы для ремонта изготавливают люди, либо машины, которыми управляют опять-таки люди. А человеку свойственно ошибаться. Поэтому вычисление квадратного корня может существенно сэкономить нервы и деньги при ремонте какого-либо помещения.

Квадратный корень также необходим физикам, математикам, программистам и другим профессионалам, чья профессия связана с вычислениями и наукой. Без подобных знаний наука стояла бы на месте. Однако даже простому человеку никогда не помешают базовые знания о корне. Ведь эти знания развивают мозг, заставляют его работать, образуя новые нейронные связи. Чем больше знаний в голове – тем больше человек запомнит.

Дискриминант: формула корней квадратного уравнения

Чтобы найти результат квадратного уравнения, придумали формулу корней. Выглядит она так:

где D = b2 − 4ac — дискриминант квадратного уравнения.

Эта запись означает:

Чтобы легко применять эту формулу, нужно понять, как она получилась. Давайте разбираться.

Выводим формулу корней квадратного уравнения

Продолжим изучать формулу корней квадратного уравнения.

Пусть перед нами есть задача решить квадратное уравнение ax2 + bx + c = 0. Выполним ряд равносильных преобразований:

• разделим обе части этого уравнения на отличное от нуля число a, после чего получим приведенное квадратное уравнение:
• выделим полный квадрат левой части нового уравнения:

  ,

  после чего уравнение примет вид

• перенесем два последних слагаемых в правую часть и сменим знак на противоположный:
• преобразуем выражение в правой части:

Так, мы пришли к уравнению , которое полностью равносильно исходному ax2 + bx + c = 0.

Отсюда выводы про корни уравнения :

И еще один вывод: есть у уравнения корень или нет, зависит от знака выражения в правой части

При этом важно помнить, что знак этого выражения задается знаком числителя. Потому выражение принято называть дискриминантом квадратного уравнения и обозначается буквой D

По значению и знаку дискриминанта можно сделать вывод, есть ли действительные корни у квадратного уравнения, и сколько.

Повторим:

Алгоритм решения квадратных уравнений по формулам корней

Теперь мы знаем, что при решении квадратных уравнения можно использовать универсальную формулу корней — это помогает находить комплексные корни.

В 8 классе на алгебре можно встретить задачу по поиску действительных корней квадратного уравнения

Для этого важно перед использованием формул найти дискриминант и убедиться, что он неотрицательный, и только после этого вычислять значения корней. Если дискриминант отрицательный, значит уравнение не имеет действительных корней

Алгоритм решения квадратного уравнения ax2 + bx + c = 0:

• вычислить его значение дискриминанта по формуле D = b2−4ac;
• если дискриминант отрицательный, зафиксировать, что действительных корней нет;
• если дискриминант равен нулю, вычислить единственный корень уравнения по формуле х = — b2/2a;
• если дискриминант положительный, найти два действительных корня квадратного уравнения по формуле корней

Чтобы запомнить алгоритм решения квадратных уравнений и с легкостью его использовать, давайте тренироваться!

Примеры решения квадратных уравнений

Как решать квадратные уравнения мы уже знаем, осталось закрепить знания на практике.

Пример 1. Решить уравнение −4×2 + 28x — 49 = 0.

Как решаем:

1. Найдем дискриминант: D = 282 — 4(-4)(-49) = 784 — 784 = 0
2. Так как дискриминант равен нулю, значит это квадратное уравнение имеет единственный корень
3. Найдем корень

   х = — 28/2(-4)

   х = 3,5

Ответ: единственный корень 3,5.

Пример 2. Решить уравнение 54 — 6×2 = 0.

Как решаем:

1. Произведем равносильные преобразования. Умножим обе части на −1

   54 — 6×2 = 0 | *(-1)

   6×2 — 54 = 0

2. Оставим неизвестное в одной части, остальное перенесем с противоположным знаком в другую

   6×2 = 54

   х2 = 9

   х = ±√9

   х₁ = 3, х₂ = — 3

Ответ: два корня 3 и — 3.

Пример 3. Решить уравнение x2— х = 0.

Как решаем:

1. Преобразуем уравнение так, чтобы появились множители

   х(х — 1) = 0

   х₁ = 0, х₂ = 1

Ответ: два корня 0 и 1.

Пример 4. Решить уравнение x2— 10 = 39.

Как решаем:

1. Оставим неизвестное в одной части, остальное перенесем с противоположным знаком в другую

   x2— 10 = 39

   x2= 39 + 10

   x2= 49

   х = ±√49

   х₁ = 7, х₂ = −7

Ответ: два корня 7 и −7.

Пример 5. Решить уравнение 3×2— 4x+94 = 0.

Как решаем:

1. Найдем дискриминант по формуле

   D = (-4)2 — 4 * 3 * 94 = 16 — 1128 = −1112

2. Дискриминант отрицательный, поэтому корней нет.

Ответ: корней нет.

В школьной программе за 8 класс нет обязательного требования искать комплексные корни, но такой подход может ускорить ход решения. Если дискриминант отрицательный — сразу пишем ответ, что действительных корней нет и не мучаемся.

Приходите решать примеры на бытовых ситуациях, с красочными героями и в интерактивном формате. Запишите вашего ребенка на бесплатный пробный урок в онлайн-школу Skysmart: познакомимся, покажем, как все устроено на платформе и наметим вдохновляющую программу обучения.

Способы набора на пк и ноутбуке

Часто, чтобы поставить в текст радикал или запись с ним, используются сочетания букв. Sqrt, например, означает кв. корень, а cbrt – кубический. Но писать буквенные комбинации, слова неудобно. Кроме того, они не всем понятны.

Используем таблицу символов

Удобный инструмент, работающий в различных приложениях Microsoft Office, блокноте, – таблица символов.

Вызвать ее можно несколькими способами:

• набрать в строке поиска название приложение;
• вызвать командную строку сочетанием клавиш win + r, набрать charmap.exe. Вызов осуществляется, если последовательно кликнуть «пуск», «выполнить»;
• зайти в пуск, перейти в стандартные программы, затем – служебные, выбрать искомое приложение.

Далее найти значок корня, последовательно щелкнуть выделить, копировать и вставить в нужное место.

Код символа

Простой метод вставить корень – использовать код.

• включить цифровую клавиатуру, нажав NumLock;
• нажать alt и, удерживая клавишу, набрать 251 с цифрового блока.

В случае с ноутом сделать нужно так:

• внимательно посмотреть на клаву;
• найти на буквенной части цифры. Они находятся под буквами в правой части – 2 под английской K, 5 – под I, 1 – под J;
• включить функциональную клавишу, которая их активирует. Для этого кликнуть Fn и кнопку от F1 до F12 (зависит от ноутбука);
• нажать альт и 251 с активированной клавы.

При работе с документом html, в программировании используются следующие значения:

Значок корня в уравнении

В документе можно написать не просто радикал, но и целое уравнение со степенью, неизвестным составляющим.

• перейти во «Вставку»;
• открыть раздел формул;
• выбрать квадратное уравнение. Если нужен другой тип уравнения, вызвать функцию «вставить новую формулу»;
• заполнить значения, в том числе степень над элементом в левой его части. Она может быть третьей, пятой, седьмой – любой.

Самостоятельно уравнение с х, корнем из некоего числа записывается и через инструмент «Объект» в меню «Вставка». После нажатия на объект перейти в Microsoft equation 3.0, «Шаблоны дробей и радикалов». В открывшемся конструкторе записать уравнение.

Шестнадцатеричный код

Для включения элемента может использоваться шестнадцатеричная система Юникод.

• ввести кодовое значение. Квадратный корень обозначается 221A, кубический – 221B, четвертый – 221C. Буквы после цифр писать в латинской раскладке;
• одновременно выжать сочетание Alt+X.

Способы набора символа в ворде

Чтобы поставить радикал в документе word, можно использовать большинство описанных методов.

• скопировать элемент из другого текста, браузера, вставить;
• использовать код+alt, код шестнадцатеричной системы;
• через таблицу символов;
• с помощью встроенного редактора формул. Для этого нажимают на раздел «Вставка», выбирают «Формула», жмут на «Вставить новую формулу». Появится надпись «Место для формулы», а в верхней панели инструментов – конструктор математических знаков. Остается выбрать значок и подкоренное выражение. Можно сразу выбрать значок со степенью 2, 3, 4, 5, даже 6;
• через инструмент «Объект»;
• изобразить значок в графическом редакторе – нарисовать галочку, одну сторону продлить. Перенести картинку в документ.

Способ 3: «Командная строка»

Формула корней для четных вторых коэффициентов

Рассмотрим частный случай. Формула решения корней квадратного уравнения , где D = b2 — 4ac, помогает получить еще одну формулу, более компактную, при помощи которой можно решать квадратные уравнения с четным коэффициентом при x. Рассмотрим, как появилась эта формула.

Например, нам нужно решить квадратное уравнение ax2 + 2nx + c = 0. Сначала найдем его корни по известной нам формуле. Вычислим дискриминант D = (2n)2- 4ac = 4n2 — 4ac = 4(n2- ac) и подставим в формулу корней:

Для удобства вычислений обозначим выражение n2 -ac как D₁. Тогда формула корней квадратного уравнения со вторым коэффициентом 2·n примет вид:

где D₁ = n2- ac.

Самые внимательные уже заметили, что D = 4D₁, или D₁= D/4. Проще говоря, D₁ — это четверть дискриминанта. И получается, что знак D1 является индикатором наличия или отсутствия корней квадратного уравнения.

Сформулируем правило. Чтобы найти решение квадратного уравнения со вторым коэффициентом 2n, нужно:

• вычислить D₁= n2- ac;
• если D₁< 0, значит действительных корней нет;
• если D₁= 0, значит можно вычислить единственный корень уравнения по формуле;
• если же D₁> 0, значит можно найти два действительных корня по формуле

Упрощаем вид квадратных уравнений

Если мы ходили в школу всегда одной тропинкой, а потом вдруг обнаружили путь короче — это значит теперь у нас есть выбор: упростить себе задачу и сократить время на дорогу или прогуляться по привычному маршруту.

Так же и при вычислении корней квадратного уравнения. Ведь проще посчитать уравнение 11×2 — 4 x — 6 = 0, чем 1100×2 — 400x — 600 = 0.

Часто упрощение вида квадратного уравнения можно получить через умножение или деление обеих частей на некоторое число. Например, в предыдущем абзаце мы упростили уравнение 1100×2 — 400x — 600 = 0, просто разделив обе части на 100.

Такое преобразование возможно, когда коэффициенты не являются взаимно простыми числами. Тогда принято делить обе части уравнения на наибольший общий делитель абсолютных величин его коэффициентов.

Покажем, как это работает на примере 12×2- 42x + 48 = 0. Найдем наибольший общий делитель абсолютных величин его коэффициентов: НОД (12, 42, 48) = 6. Разделим обе части исходного квадратного уравнения на 6, и придем к равносильному уравнению 2×2 — 7x + 8 = 0. Вот так просто.

А умножение обеих частей квадратного уравнения отлично помогает избавиться от дробных коэффициентов. Умножать в данном случае лучше на наименьшее общее кратное знаменателей его коэффициентов. Например, если обе части квадратного уравнения

умножить на НОК (6, 3, 1) = 6, то оно примет более простой вид x2 + 4x — 18 = 0.

Также для удобства вычислений можно избавиться от минуса при старшем коэффициенте квадратного уравнения — для этого умножим или разделим обе части на −1. Например, удобно от квадратного уравнения −2×2- 3x + 7 = 0 перейти к решению 2×2 + 3x — 7 = 0.

Связь между корнями и коэффициентами

Мы уже запомнили, что формула корней квадратного уравнения выражает корни уравнения через его коэффициенты:

Из этой формулы, можно получить другие зависимости между корнями и коэффициентами.

Например, можно применить формулы из теоремы Виета:

• x₁ + x₂ = — b/a,
• x₁* x₂ = c/a.

Для приведенного квадратного уравнения сумма корней равна второму коэффициенту с противоположным знаком, а произведение корней — свободному члену. Например, по виду уравнения 3×2- 7x + 22 = 0 можно сразу сказать, что сумма его корней равна 7/3, а произведение корней равно 22/3.

Можно активно использовать уже записанные формулы и с их помощью получить ряд других связей между корнями и коэффициентами квадратного уравнения. Таким образом можно выразить сумму квадратов корней квадратного уравнения через его коэффициенты:

А еще найти корни квадратного уравнения можно с помощью онлайн-калькулятора. Пользуйтесь им, если уже разобрались с темой и щелкаете задачки легко и без помощников:

• Калькулятор раз
• Два
• Три

Ввод функций:

Функции вводятся с использованием маленьких латинских букв: sin ; cos ; tan ; log

ВНИМАНИЕ! Аргумент функции всегда берется в скобки () , например: sin( 4 ) ; cos( x ) ; log( 4 + y ). Запись типа: sin 4 ; cos x ; log 4 + y – недопустима

Правильная запись: sin( 4 ) ; cos( x ) ; log( 4 + y ) . Если необходимо возвести функцию в степень, например: синус x и все это в квадрате, это записывается вот так: (sin( x )) ^ 2 . Если необходимо возвести в квадрат аргумент, а не функцию (т.е синус от x ^ 2 ), тогда это выглядит вот так: sin( x ^ 2) . Запись типа: sin ^ 2 x – недопустима .

Источник статьи: http://mathforyou.net/online/input/simple/

Способы набора на пк и ноутбуке

Часто, чтобы поставить в текст радикал или запись с ним, используются сочетания букв. Sqrt, например, означает кв. корень, а cbrt – кубический. Но писать буквенные комбинации, слова неудобно. Кроме того, они не всем понятны.

Используем таблицу символов

Удобный инструмент, работающий в различных приложениях Microsoft Office, блокноте, – таблица символов.

Вызвать ее можно несколькими способами:

• набрать в строке поиска название приложение;
• вызвать командную строку сочетанием клавиш win + r, набрать charmap.exe. Вызов осуществляется, если последовательно кликнуть «пуск», «выполнить»;
• зайти в пуск, перейти в стандартные программы, затем – служебные, выбрать искомое приложение.

Далее найти значок корня, последовательно щелкнуть выделить, копировать и вставить в нужное место.

Код символа

Простой метод вставить корень – использовать код.

Алгоритм на пк:

• включить цифровую клавиатуру, нажав NumLock;
• нажать alt и, удерживая клавишу, набрать 251 с цифрового блока.

В случае с ноутом сделать нужно так:

• внимательно посмотреть на клаву;
• найти на буквенной части цифры. Они находятся под буквами в правой части – 2 под английской K, 5 – под I, 1 – под J;
• включить функциональную клавишу, которая их активирует. Для этого кликнуть Fn и кнопку от F1 до F12 (зависит от ноутбука);
• нажать альт и 251 с активированной клавы.

При работе с документом html, в программировании используются следующие значения:

• &#8730 для квадратного корня;
• &#8731 – кубического;
• &#8732 – четвертого.

Значок корня в уравнении

В документе можно написать не просто радикал, но и целое уравнение со степенью, неизвестным составляющим.

Для этого:

• перейти во «Вставку»;
• открыть раздел формул;
• выбрать квадратное уравнение. Если нужен другой тип уравнения, вызвать функцию «вставить новую формулу»;
• заполнить значения, в том числе степень над элементом в левой его части. Она может быть третьей, пятой, седьмой – любой.

Самостоятельно уравнение с х, корнем из некоего числа записывается и через инструмент «Объект» в меню «Вставка». После нажатия на объект перейти в Microsoft equation 3.0, «Шаблоны дробей и радикалов». В открывшемся конструкторе записать уравнение.

Шестнадцатеричный код

Для включения элемента может использоваться шестнадцатеричная система Юникод.

Работает так:

• ввести кодовое значение. Квадратный корень обозначается 221A, кубический – 221B, четвертый – 221C. Буквы после цифр писать в латинской раскладке;
• одновременно выжать сочетание Alt+X.

Способы набора символа в ворде

Чтобы поставить радикал в документе word, можно использовать большинство описанных методов.

Среди них:

• скопировать элемент из другого текста, браузера, вставить;
• использовать код+alt, код шестнадцатеричной системы;
• через таблицу символов;
• с помощью встроенного редактора формул. Для этого нажимают на раздел «Вставка», выбирают «Формула», жмут на «Вставить новую формулу». Появится надпись «Место для формулы», а в верхней панели инструментов – конструктор математических знаков. Остается выбрать значок и подкоренное выражение. Можно сразу выбрать значок со степенью 2, 3, 4, 5, даже 6;
• через инструмент «Объект»;
• изобразить значок в графическом редакторе – нарисовать галочку, одну сторону продлить. Перенести картинку в документ.

Размеры плуга для мотоблока

Поворотный плуг характеризуется наличием трех конструктивных плоскостей: нижней горизонтальной плоскости полозка, боковой вертикальной плоскости полозка и передней отвальной плоскости. Если после снятия лемеха и отвала плуг поставить на горизонтальный стол, вплотную придвинутый к стене, и прижать его боковую поверхность к вертикальной стене, то поверхность стола совпадет с нижней горизонтальной плоскостью полозка, а вертикальная стена с боковой вертикальной плоскостью полозка.

• Первым условием хорошего плуга является расположение нижнего режущего края установленного лемеха на 10…20мм ниже нижней горизонтальной плоскости полозка.
• Вторым условием хорошего плуга является составление боковым режущим краем установленного лемеха прямой линии с боковым режущим краем отвала, причем оба они должны выступать на 10мм за боковую вертикальную плоскость полозка.
• Третье условием хорошего плуга является примыкание передней рабочей поверхности лемеха к отвалу в одной плоскости и без зазора. Они не должны иметь выступающих крепёжных элементов, но должны быть заполированы и блестеть, как зеркало.

По завершении работ с плугом рекомендуется полированные поверхности очистить от грунта, полить машинным маслом или смазать Литолом-24 и растереть ветошью. Это позволит защитить полированные поверхности от коррозии.

Четвёртым условием хорошего плуга является ровная тыльная сторона лемеха, составляющая с плоской поверхностью установки плуга угол 15…20 градусов, равный заднему углу установленного лемеха.

Боковые режущие кромки лемеха и отвала также должны иметь задние углы 10…20 градусов с боковой плоскостью борозды, причем боковая режущая кромка отвала может быть закругленной.

Квадратные корни из натуральных чисел

Положительное число имеет два квадратных корня, один положительный, и отрицательный, которые противоположны друг другу. Когда речь идет о на квадратный корень из положительного целого числа, то, как правило , положительный квадратный корень , который имел в виду.

Квадратные корни из целого числа — это целые алгебраические числа, а точнее — квадратичные целые числа .

Квадратный корень из положительного целого числа — это произведение корней его простых множителей, потому что квадратный корень из произведения — это произведение квадратных корней из множителей. Поскольку необходимы только корни тех простых чисел, которые имеют нечетную степень при факторизации . Точнее, квадратный корень из разложения на простые множители равен
п2kзнак равнопk,{\ displaystyle {\ sqrt {p ^ {2k}}} = p ^ {k},}

п12е1+1⋯пk2еk+1пk+12еk+1…пп2епзнак равноп1е1…ппепп1…пk.{\ Displaystyle {\ sqrt {p_ {1} ^ {2e_ {1} +1} \ cdots p_ {k} ^ {2e_ {k} +1} p_ {k + 1} ^ {2e_ {k + 1}} \ dots p_ {n} ^ {2e_ {n}}}} = p_ {1} ^ {e_ {1}} \ dots p_ {n} ^ {e_ {n}} {\ sqrt {p_ {1} \ dots p_ {k}}}.}

В виде десятичных разложений

Квадратные корни из полных квадратов (например, 0, 1, 4, 9, 16) являются целыми числами . Во всех остальных случаях квадратные корни из положительных целых чисел являются иррациональными числами и, следовательно, имеют неповторяющиеся десятичные дроби в их десятичных представлениях . Десятичные приближения квадратных корней из первых нескольких натуральных чисел приведены в следующей таблице.

п	п,{\ displaystyle {\ sqrt {n}},} усечено до 50 знаков после запятой
1	1
2	1,4142135623 7309504880 1688724209 6980785696 7187537694
3	1.7320508075 6887729352 7446341505 8723669428 0525381038
4	2
5	2,2360679774 9978969640 9173668731 2762354406 1835961152
6	2.4494897427 8317809819 7284074705 8913919659 4748065667
7	2,6457513110 6459059050 1615753639 2604257102 5918308245
8	2,8284271247 4619009760 3377448419 3961571393 4375075389
9	3
10	3,1622776601 6837933199 8893544432 7185337195 5513932521

Как расширения в других системах счисления

Как и раньше, квадратные корни из полных квадратов (например, 1, 4, 9, 16) являются целыми числами. Во всех остальных случаях квадратные корни из положительных целых чисел являются иррациональными числами и, следовательно, имеют неповторяющиеся цифры в любой стандартной позиционной системе обозначений .

Квадратные корни из малых целых чисел используются в схемах хэш-функций SHA-1 и SHA-2, чтобы ничего не дать мне в числах в рукаве .

Как периодические непрерывные дроби

Один из самых интригующих результатов изучения иррациональных чисел как цепных дробей был получен Джозефом Луи Лагранжем c. 1780. Лагранж обнаружил, что представление квадратного корня из любого положительного целого числа, не являющегося квадратом, в виде непрерывной дроби является периодическим . То есть определенный образец частичных знаменателей бесконечно повторяется в непрерывной дроби. В каком-то смысле эти квадратные корни являются простейшими иррациональными числами, потому что они могут быть представлены простым повторяющимся шаблоном целых чисел.

2{\ displaystyle {\ sqrt {2}}}	=
3{\ displaystyle {\ sqrt {3}}}	=
4{\ displaystyle {\ sqrt {4}}}	=
5{\ displaystyle {\ sqrt {5}}}	=
6{\ displaystyle {\ sqrt {6}}}	=
7{\ displaystyle {\ sqrt {7}}}	=
8{\ displaystyle {\ sqrt {8}}}	=
9{\ displaystyle {\ sqrt {9}}}	=
10{\ displaystyle {\ sqrt {10}}}	=
11{\ displaystyle {\ sqrt {11}}}	=
12{\ displaystyle {\ sqrt {12}}}	=
13{\ displaystyle {\ sqrt {13}}}	=
14{\ displaystyle {\ sqrt {14}}}	=
15{\ displaystyle {\ sqrt {15}}}	=
16{\ displaystyle {\ sqrt {16}}}	=
17{\ displaystyle {\ sqrt {17}}}	=
18{\ displaystyle {\ sqrt {18}}}	=
19{\ displaystyle {\ sqrt {19}}}	=
20{\ displaystyle {\ sqrt {20}}}	=

Квадратная скобка обозначение , используемое выше , является краткой формой для непрерывной дроби. Написанная в более сложной алгебраической форме, простая непрерывная дробь для квадратного корня из 11, , выглядит так:

11знак равно3+13+16+13+16+13+⋱{\ displaystyle {\ sqrt {11}} = 3 + {\ cfrac {1} {3 + {\ cfrac {1} {6 + {\ cfrac {1} {3 + {\ cfrac {1} {6+ {) \ cfrac {1} {3+ \ ddots}}}}}}}}}}}

где двузначный образец {3, 6} повторяется снова и снова в частичных знаменателях. Так как 11 = 3 2 + 2 , выше, также идентичен следующие :

11знак равно3+26+26+26+26+26+⋱знак равно3+620-1-120-120-120-120-⋱.{\ displaystyle {\ sqrt {11}} = 3 + {\ cfrac {2} {6 + {\ cfrac {2} {6 + {\ cfrac {2} {6 + {\ cfrac {2} {6+ { \ cfrac {2} {6+ \ ddots}}}}}}}}} = 3 + {\ cfrac {6} {20-1 — {\ cfrac {1} {20 — {\ cfrac {1} { 20 — {\ cfrac {1} {20 — {\ cfrac {1} {20- \ ddots}}}}}}}}}}.}

Какое одеяло самое теплое на зиму, из чего

То, насколько тепло будет под одеялом в холодное время года, зависит от типа наполнителя. Он может быть натуральным (шерсть, пух, вата) или синтетическим (синтепон, холлофайбер). Чтобы выбрать самое теплое изделие, необходимо учесть температуру в спальне.

1. Синтетика не даст замерзнуть при температуре от +19°C.
2. Натуральные изделия сохранят тепло если температура в комнате от +16 до +18°C.

Соответственно, лучше всего сохранит температуру шерсть, пух или вата:

• верблюжья шерсть не только отлично греет, но и оказывает оздоровительный эффект, снимая напряжение с мышц. Кроме того, этот материал при правильном уходе очень долго изнашивается. Овечья шерсть также хорошо согревает, но при этом стоит чуть дешевле. Самые дорогие одеяла из кашемира (козьей шерсти);
• лёгкий пух отлично держит форму и долго сохраняет привлекательный внешний вид изделию. Его структура отлично обеспечивает циркуляцию воздуха и при этом под таким одеялом не будет жарко и в теплое время года;
• одним из самых традиционных утеплителей считается вата. Она недорогая и прекрасно впитывает влагу, сохраняя при этом тепло. Её главным преимуществом является полная гипоаллергенность. Однако учтите, что зимние ватные одеяла достаточно тяжелые.

Естественно, у каждого зимнего одеяла есть ряд достоинств и недостатков да и каждый человек имеет индивидуальные требования к этому изделию. Однако, постараемся суммировать всю доступную информацию.

Какой наполнитель лучше выбрать

В первую очередь следует ориентироваться на свой бюджет, поскольку хорошие варианты есть и в бюджетном, и в дорогом сегменте.

Если вы готовы вложиться в изделие, которое будет служить вам долгие годы, обратите внимание на бамбуковые или шелковые модели.
Одеяла из овечьей или верблюжьей шерсти предпочтительно выбирать для людей пожилого возраста, поскольку они окажут еще и терапевтический эффект.
Если вы не хотите раскошеливаться, то обратите внимание на холлофайбер или искусственный лебяжий пух — оба материала легкие и гипоаллергенные, при этом очень просто стираются.

На телефоне

На клавиатуре большинства смартфонов также нет радикала. Есть он в калькуляторах, установленных на телефоны.

Проверить, если ли элемент на обычной клаве, можно, открыв любое приложение, где набирается текст. Перейдите в цифровой режим клавиатуры, внимательно просмотрите. Возможно, вы – счастливый обладатель такой модели смартфона, где есть специальные символы.

Если корня нет, предлагаем воспользоваться следующими способами:

• скопировать из текста, калькулятора;
• скачать в интернете клавиатурные приложения от сторонних производителей. Для этого необходимо, что смартфон находится онлайн, зайти в google play, подобрать утилиту.