Онлайн калькулятор для работы с комплексными числами

Содержание:

Содержание

Извлечение корня из комплексного числа в тригонометрической форме

Рассмотрим задачу извлечения корня из комплексного числа, заданного в показательной или тригонометрической форме , или . Искомое число также запишем в показательной форме: . Используя определение операции извлечения корня и условия (1.8), получаем соотношения

или

(1.15)

Правило извлечения корня. Чтобы извлечь корень из комплексного числа, нужно извлечь корень (арифметический) той же степени из модуля данного числа, а аргумент разделить на показатель корня:

(1.16)

Теперь можно записать число в показательной форме:

Если записать это соотношение в тригонометрической форме, то, учитывая периодичность тригонометрических функций, нетрудно убедиться, что выражение принимает только различных значений. Для их записи достаточно в формуле (1.15) взять последовательных значений , например . В результате получаем формулу извлечения корня из комплексного числа в тригонометрической форме, где :

(1.17)

Замечания 1.1

1. Рассмотренная задача извлечения корня степени из комплексного числа равносильна решению уравнения вида , где, очевидно, .

Для решения уравнения нужно найти значений , а для этого необходимо найти и использовать формулу извлечения корня.

2. Исследование формулы (1.17) показывает, что все комплексные числа (значения ) имеют равные модули, т.е. геометрически расположены на окружности радиуса . Аргументы двух последовательных чисел отличаются на , так как , т.е. каждое последующее значение может быть получено из предыдущего поворотом радиуса-вектора точки на .В этом заключается геометрический смысл формулы (1.17), что можно сформулировать следующим образом.

Точки, соответствующие значениям , расположены в вершинах правильного n-угольника, вписанного в окружность с центром в начале координат, радиус которой , причем аргумент одного из значений равен (рис. 1.7).

Определение комплексного числа

Комплексным числом называется выражение вида , где — действительные числа ; — число, квадрат которого равен минус единице ; число обозначается .

Числа и при этом называются соответственно действительной и мнимой частью комплексного числа и обозначаются ; — мнимая единица.

Выражение называется алгебраической формой записи комплексного числа; знаки между составляющими числа — обычные знаки операций сложения и умножения, которые обладают теми же свойствами, что и в действительной области.

Множество комплексных чисел обозначается , а — элемент данного множества.

Из определения следует, что действительные числа можно рассматривать как частный случай комплексных, т.е. , а именно при получаем — действительное число.

Число называется чисто мнимым.

Пример 1.1. Записать действительную и мнимую части чисел: .

Решение. .

Сопряженные числа и их свойства

Пусть —
комплексное число. Число ,
отличающееся от числа лишь знаком
при мнимой части, называется числом, сопряжённым с .

Свойства сопряжённых чисел

1) (число,
сопряжённое сопряжённому числу, равно данному числу);

2) если и —
комплексные числа, то и
(число, сопряжённое
с суммой двух чисел, равно сумме чисел, сопряжённых со слагаемыми и число, сопряжённое с
произведением, равно произведению чисел, сопряжённых с сомножителями).

3) если ,
то и
— положительное
действительное число, равное нулю тогда и только тогда, когда ,
т. е. когда и
.

Пример 8. Даны комплексные числа
и
. Убедиться
в справедливости свойств сопряжённых чисел.

Решение. Сопряжёнными данным комплексным числам являются числа
и . Сумма данных комплексных чисел:

,

а произведение:

.

В свою очередь

,

Таким образом, справедливость свойств сопряжённых чисел доказана.

Расчёт параметров стропильной системы

Умножение комплексных чисел

Умножение комплексных чисел немного сложнее и заставляет задуматься:

А что значит перемножить два комплексных числа?

Самый простой способ понять мнимые числа — это интерпретировать умножение +1, -1 и √-1 (или, как Гаусс говорит прямые, обратные и боковые единицы) как вращение вокруг комплексной плоскости против часовой стрелки.

Умножение на +1

Умножение на +1 можно представить как вращение на 0˚ или 360˚ относительно начала координат, поскольку в любом случае вы вернетесь туда, откуда начали.

Умножение на +1

Умножение на -1

Умножение на -1 можно интерпретировать как вращение на 180˚ против часовой стрелки вокруг начала координат. Например, если я начинаю с 2 и умножаю на -1, Я заканчиваю на -2, что составляет 180˚ против часовой стрелки. И если я умножу -2 на -1, я вернусь к положительному 2.

Умножение на i или √-1

А теперь самое интересное.

Умножая на i или √-1 мы поворачиваем плоскость на 90˚. Вот здесь мнимые числа и вступают в игру.

Обратите внимание, что если я умножу 2 на i, я получу 2i, что является поворотом на 90˚

Если я умножу 2i на i, я получу 2i², что есть -2, так как i² фактически равно -1.

Итак, 2i ² = 2 (-1) или -2, еще 90° против часовой стрелки.

Умножение на i или √-1

Точно так же, -2 умноженное на i равно -2i, еще четверть оборота.

И наконец, -2i умноженное на i равно -2i² или -2(-1) что равно 2.

Мы могли бы продолжать умножать на i и вращаться вокруг плоскости, поэтому данный пример даёт нам шаблон, который повторяется каждые 4 цикла.

В общем, мы знаем, что
умножение на действительное число масштабирует значение, и мы чуть выше узнали,
что умножение на i поворачивает значение на 90° против часовой
стрелки, но как насчет этого?

Чтобы лучше понять, давайте распишем.

Хорошо, теперь мы можем выполнить сложение векторов. Первый вектор это (3+2i) (1), как мы рассмотрели выше (3+2i) поворачивается на 360˚, то есть остается на месте.

Теперь мы рассмотрим второй вектор (3 + 2i) (- 4i). Здесь происходит то же самое, что и с первым вектором: масштабирование и вращение. Вот как это происходит.

Сначала вектор (3 + 2i) умножаем на 4, и получаем (12 + 8i), этим мы растянули вектор (3 + 2i) в 4 раза.

Нам также нужно умножить на -i. Напомним, умножая на -i мы поворачиваем на 90˚ по часовой стрелке.

Теперь распишем полученное с помощью алгебры.

Последний шар — выполним сложение, перенеся параллельно начало одного вектора в конец другого.

Наш окончательный ответ 11 — 10i.

Теперь у вас может возникнуть вопрос, почему мы не можем просто решить все с помощью алгебры?

И это так, мы можем решить это с помощью алгебры. На самом деле, это самый эффективный способ решения задачи (хотя ему не хватает понимания, которое вы получаете от построения графиков). Поэтому мы предложили вашему вниманию оба пути решения.

Деление комплексных чисел

Как и при любом делении в алгебре, комплексное число нельзя делить на нуль
и на комплексное число .

При делении комплексного числа на действительное число на это число нужно
разделить и действительную, и мнимую компоненты. При делении комплексного числа на
комплексное число нужно делимое и делитель умножить на число, сопряжённое делителю.

Пример 9. Разделить комплексное число
на комплексное число
.

Решение. Умножив числитель и знаменатель дроби
на , получаем:

Автор проекта был свидетелем вопроса о том, откуда взялось 5 в знаменателе дроби.
Пояснения вызывают реакцию «А слона-то я и не заметил!». Пояснения следующие: не забываем, что мы
имеем дело с комплексными числами и знаем, что — это
не какая-нибудь переменная, а корень из минус единицы. Таким образом,

.

Пример 10. Разделить комплексное число
на комплексное число
.

Решение. Умножив числитель и знаменатель дроби
на , получаем:

Если всё же возникает вопрос, откуда в знаменателе дроби 10, смотрите пояснения в
конце предыдущего примера.

Алгебраическая форма записи комплексных чисел

      Пусть x и y — произвольные вещественные числа.

      Множеством комплексных чисел называют множество всевозможных пар (x, y) вещественных чисел, на котором определены операции сложения, вычитания и умножения по правилам, описанным чуть ниже.

      Множество комплексных чисел является расширением множества вещественных чисел, поскольку множество вещественных чисел содержится в нём в виде пар (x, 0).

      Комплексные числа, заданные парами (0, y), называют чисто мнимыми числами.

      Для комплексных чисел существует несколько форм записи: алгебраическая форма записи, тригонометрическая форма записи и экспоненциальная (показательная) форма записи.

      Алгебраическая форма — это такая форма записи комплексных чисел, при которой комплексное число   z, заданное парой вещественных чисел   (x, y), записывается в виде

z = x + i y . (1)

где использован символ   i , называемый мнимой единицей.

      Число x называют вещественной (реальной) частью комплексного числа   z = x + i y   и обозначают   Re z.

      Число y называют мнимой частью комплексного числа   z = x + i y   и обозначают   Im z.

      Комплексные числа, у которых   Im z = 0 , являются вещественными числами.

      Комплексные числа, у которых     Re z = 0 , являются чисто мнимыми числами.

      Тригонометрическая и экспоненциальная формы записи комплексных чисел будут изложены чуть позже.

Умножение комплексных чисел в тригонометрической форме

Зададим два комплексных числа в тригонометрической форме и и перемножим их по правилу умножения двучленов:

или

Получили новое число , записанное в тригонометрической форме: , для которого .

Правило умножения. При умножении комплексных чисел, заданных в тригонометрической форме, их модули перемножаются, а аргументы складываются:

(1.10)

В результате умножения чисел может получиться аргумент произведения, не являющийся главным значением.

Пример 1.19. Найти модули и аргументы чисел:

Решение

Каждое из заданных чисел записано в виде произведения. Найдем модули и аргументы сомножителей и воспользуемся правилом (1.10) умножения чисел, заданных в тригонометрической форме:

Для чисел и находим модули и аргументы: . Используя формулы (1.10), получаем

б) . Для числа имеем: ; для числа , и так как (точка расположена в четвертой четверти), то . Используя формулы (1.10), получаем .

Заметим, что для решения этой задачи можно раскрыть скобки, записать каждое число в алгебраической форме, а затем найти и , используя формулы (1.5), (1.6).

Модуль комплексного числа

Число — длина радиуса-вектора точки называется модулем комплексного числа . Обозначение: .

Из рис. 1.3,б получаем формулу для нахождения модуля числа, заданного и алгебраической форме

(1.5)

Очевидно, что и только для числа .

С помощью правила вычитания запишем модуль числа , где и

А это, как известно, есть формула для расстояния между точками и .

Таким образом, число есть расстояние между точками и на комплексной плоскости.

Пример 1.13. Найти модули комплексных чисел:

Решение

Найдем решение для каждого из трех случаев:

1) числа и действительные, причем . Поэтому (рис. 1.4);

2) числа и — чисто мнимые, причем . Поэтому , то есть , или (рис. 1.4);

3) для числа имеем . Поэтому (рис. 1.4).

Шпаклюем деревянную дверь

Шпаклевка по деревуНаглядный пример того, как шпаклевать деревянные двери

После того как все слои старой краски удалены, следует взять наждачную бумагу, закрепить ее на держателе и старательно отшлифовать дверь, совершая движения по линии волокон. Эта мера позволит удалить краску из труднодоступных участков, сгладить царапины и сколы.

Шпатлевка под цвет древесины

Дверь после шлифовки пылесосим и протираем уайт-спиритом, обезжиривая.

Открываем банку с грунтовкой, перемешиваем и наносим состав на дверь тонким слоем. Грунтовка продлит жизнь древесины и послужит основой для нового лакокрасочного покрытия. Средний расход грунтовки – 100 граммов на 1 квадратный метр полотна. Средняя цена упаковки весом 2,5 кг – 280-350 рублей.

Шлифовка и нанесение грунтовки

Узким шпателем наносим перемешанную шпаклевку для дерева. Распределяем ее и оставляем высыхать. После этого придется еще раз обработать всю дверь мелкозернистой наждачной бумагой, чтобы устранить все мельчайшие дефекты.

Если на двери присутствует большая глубокая трещина, ее можно устранить, подобрав подходящий по размеру и цвету кусочек дерева. Щепку промазываем столярным клеем и плотно вбиваем в трещину. Примерно через сутки клей подсохнет и дверь будет готова к проведению процедур грунтовки, шпаклевки и покраски.

Вставка, удаление и изменение выражения.

Для удаления формулы нужно выбирать левой кнопкой мыши нужную формулу и в открывающем окне (Рис.2) нажимать на надпись ‘Удалить’. Нужно учитывать, что все формулы нужно пересчитать, т.к. при удалении переменной значение этой переменной могут быть использованы в дальнейших выражениях. Для пересчитывания нужно использовать кнопку на калькуляторе которая станет зеленым. Каждый раз, когда эта кнопка становится зеленым, нужно его нажимать для пересчитывания формул.

Для изменения формулы нужно выбирать левой кнопкой мыши нужную формулу и в открывающем окне (Рис.2) выбирать надпись ‘Изменить’. В окне калькулятора появится формула, которая можно редактировать а в конце нажимать на ‘=’ или .Нужно учитывать, что все формулы будут пересчитаны, т.к. при изменении переменной значение этой переменной могут быть использованы в дальнейших выражениях.

Для вставки формулы нужно выбирать левой кнопкой мыши ту формулу, перед которой нужно вставить формулу и в открывающем окне (Рис.2) нажимать на надпись ‘Вставить’. В окне калькулятора нужно набирать формулу и в конце нажимать на ‘=’ или .Нужно учитывать, что все формулы будут пересчитаны, т.к. при вставки переменной значение этой переменной могут быть использованы в дальнейших выражениях.

Деление комплексных чисел

Давайте разделим (3+2i)/(1–4i)

В этот момент вы можете подумать, что можете просто разделить действительные и мнимые части… но не так быстро.

Как и в алгебре, мы должны разделить оба члена числителя на знаменатель, что оставляет нас с той же проблемой:

Что на
самом деле означает деление на комплексное число?

По правде говоря, это сбивает с толку. Разве не было бы хорошо, если бы мы могли избавиться от комплексного числа в знаменателе?

Хорошие
новости → Именно это мы и собираемся сделать!

Сопряжённые числа

Ключом к решению этой
проблемы является выяснение того, как преобразовать знаменатель в вещественное
число.

Самый простой способ
сделать это — использовать комплексное
сопряжение.

Комплексно-сопряжённое число какому-то числу это тоже самое число только с другим знаком возле мнимой части. И когда мы будем умножать комплексно-сопряжённые числа мы всегда будем получать действительное число.

Например, комплексно
сопряжённое число (1–4i) равно (1+4i).

Конечно, мы не можем просто умножить знаменатель на (1+4i). Как и с любой дробью, если мы умножаем знаменатель на значение, мы также должны умножить числитель на это значение

Теперь у нас есть произведение двух комплексных чисел в числителе дроби. С ними мы знаем как обращаться из предыдущего урока. А в знаменатели дроби получили 17, что означает уменьшение вектора в 17 раз.

Вы можете решить это с помощью графика или алгебраически:

Это было не так уж и сложно, не так ли?

Некоторые теоретические сведения

Транспонирование — операция, при которой строки и столбцы матрицы меняются местами:

Главная диагональ квадратной матрицы — диагональ, которая проходит через верхний левый и нижний правый углы. Элементы главной диагонали —

Единичная матрица En×n — квадратная матрица из n столбцов и n строк с единицами на главной диагонали и нулями вне её.

Ранг — это максимальное количество линейно независимых строк (столбцов) этой матрицы. Обозначение:

След — это сумма элементов, находящихся на её главной диагонали. Обозначение: или

Умножение матрицы на число — матрица такой же размерности, что и исходная, каждый элемент которой является произведением соответствующего элемента исходной матрицы на заданное число.

Возведение в степень — умножение заданной матрицы саму на себя n-ое количество раз, где n – степень, в которую необходимо возвести исходную матрицу. Обозначение:

Обратная матрица A−1 — матрица, произведение которой на исходную матрицу A равно единичной матрице:

Треугольная матрица — квадратная матрица, у которой выше (верхнетреугольная матрица) или ниже (нижнетреугольная матрица) главной диагонали находятся нули.

LU-разложение — представление матрицы в виде произведения двух матриц L и U, где L — нижнетреугольная матрица с еденичной диагональю, а U — верхнетреугольная матрица.

Сложение матриц An×m и Bn×m — матрица Cn×m, получаемая попарной суммой соответствующих элементов матриц A и B, то есть каждый элемент матрицы C равен:

Разность матриц An×m и Bn×m — матрица Cn×m, получаемая попарной разностью соответствующих элементов матриц A и B, то есть каждый элемент матрицы C равен:

Умножение матриц An×k и Bk×m — матрица Cn×m, у которой элемент (cij) равен сумме произведений элементов i-той строки матрицы A на соответствующие элементы j-того столбца матрицы B:

Алгоритм решения комплексных уравнений вида z^n-a=0

1. Найти модуль и аргумент числа .2. Записать формулу (1.17) при заданном значении .3. Выписать значения корней уравнения , придавая значения .

Пример 1.24. Решить уравнения: a) ; б) .

Решение

Задача равносильна задаче нахождения всех значений корня из комплексного числа. Решаем в каждом случае по алгоритму.

а) Найдем .1. Определим модуль и аргумент числа .2. При полученных значениях и записываем формулу (1.17):

Заметим, что справа стоит — арифметический корень, его единственное значение равно 1.

3. Придавая последовательно значения от 0 до 5, выписываем решения уравнения:

Геометрически соответствующие точки расположены в вершинах правильного шестиугольника, вписанного в окружность радиуса , одна из точек (соответствует ) . Строим шестиугольник (рис. 1.8,в). Отметим свойства корней этого уравнения с действительными коэффициентами — его комплексные корни являются попарно сопряженными: и — действительные числа.

б) Найдем .1. Определим модуль и аргумент числа .2. По формуле (1.17) имеем

3. Выписываем корни .

Для геометрического представления решения уравнения достаточно изобразить одно значение, например (при ) — это точка окружности , лежащая на луче . После этого строим правильный треугольник, вписанный в окружность (рис. 1.8,б).

Пример 1.25. Найти корень уравнения , для которого .

Решение

Задача равносильна задаче нахождения при условие .

1. Находим модуль и аргумент числа .

2. По формуле (1.17) имеем: .

3. Для нахождения искомого решения нет необходимости выписывать все значения корня. Нужно выбрать значение , при котором выполняется условие (соответствующая точка — точка второй четверти). Удобно при этом использовать чертеж (рис. 1.9).

Условию поставленной задачи удовлетворяет корень (при ): .

(помощь с решением задач, обсуждение вопросов по математике).

Линейная алгебра

  1. Определитель матрицы.
  2. Матричный калькулятор:
  3. Методы решения системы уравнений: метод Гаусса, метод Крамера, метод обратной матрицы и другие.
  4. Координаты вектора в новом базисе. Показать, что векторы образуют базис трехмерного пространства и найти координаты вектора в этом базисе.
  5. Приведение кривой второго порядка к каноническому виду
  6. Собственные числа матрицы
  7. Выделение полного квадрата (a•x2 + b•x + c = 0)
  8. Метод неопределенных коэффициентов (преобразовать в сумму простейших дробей):
  9. Формула дискриминанта. Данный вид калькулятора используется для нахождения дискриминанта и корней функции.
  10. Деление многочленов столбиком. Данная процедура, в частности, поможет при нахождении интегралов.
  11. Решение пределов.
  12. Точки разрыва функции.

Раскрыть скобки и упростить выражение, (x2/3 — 3x + 12)(x + 2)

Понятие бесконечности на множестве комплексных чисел

Как и в действительной области, на множестве комплексных чисел вводится понятие бесконечности, бесконечно удаленной точки. Это можно сделать по аналогии с множеством действительных чисел из геометрических соображений.

Рассмотрим числовую прямую и окружность , которая касается прямой в точке ; точку, диаметрально противоположную точке , обозначим (рис. 1.2,б).

Будем соединять прямыми различные точки оси с точкой ; точки пересечения прямых с окружностью будем обозначать . Очевидно, каждой точке соответствует точка . Обратное справедливо для всех точек окружности, за исключением точки . Но по мере удаления по прямой от точки (с увеличением расстояния, равного ), ее образ на окружности приближается к точке . Для последовательности такого вида в анализе принято название бесконечно большая последовательность (величина). Ее предел обозначается и называется бесконечностью или бесконечно удаленной точкой. Поэтому точку можно рассматривать как образ бесконечно удаленной точки на окружности, а бесконечность — как «точку» оси , образом которой на окружности является точка .

По аналогии рассмотрим плоскость (плоскость ) и сферу , касающуюся ее в начале координат, т.е. в точке (рис. 1.2,а). Лучи, соединяющие точки с точкой пересекают сферу в точках . При этом любой точке соответствует единственная точка , и наоборот, любой точке соответствует единственная точка . Очевидно, чем дальше расположена точка от начала координат ( — длина радиуса-вектора точки ), тем ближе ее образ к точке . Чтобы соответствие было полным, вводится «несобственный» элемент (символ ) , бесконечно удаленная точка как точка плоскости, образом которой на является точка .

Плоскость , дополненная элементом , называется расширенной комплексной плоскостью и обозначается .

Построенное взаимно однозначное соответствие точек сферы и множества называется стереографической проекцией, а сфера — сферой Римана.

Возведение комплексных чисел в степень

Начнем со всеми любимого квадрата.

Пример 9

Возвести в квадрат комплексное число

Здесь можно пойти двумя путями, первый способ это переписать степень как произведение множителей  и перемножить числа по правилу умножения многочленов.

Второй способ состоит в применении известной школьной формулы сокращенного умножения :

Для комплексного числа легко вывести свою формулу сокращенного умножения:. Аналогичную формулу можно вывести для квадрата разности, а также для куба суммы и куба разности. Но эти формулы более актуальны для задач комплексного анализа, поэтому на данном уроке я воздержусь от подробных выкладок.

Что делать, если комплексное число нужно возвести, скажем, в 5-ю, 10-ю или 100-ю степень? Ясно, что в алгебраической форме проделать такой трюк практически невозможно, действительно, подумайте, как вы будете решать пример вроде ?

И здесь на помощь приходит тригонометрическая форма комплексного числа и, так называемая, формула Муавра: Если комплексное число представлено в тригонометрической форме , то при его возведении в натуральную степень  справедлива формула:

Данная формула следует из правила умножения комплексных чисел, представленных в тригонометрической форме: чтобы найти произведение чисел ,  нужно перемножить их модули и сложить аргументы:

Аналогично для показательной формы: если , то:

Просто до безобразия.

Пример 10

Дано комплексное число , найти .

Что нужно сделать? Сначала нужно представить данное число в тригонометрической форме. Внимательные читатели заметили, что в Примере 8 мы это уже сделали:

Тогда, по формуле Муавра:

Упаси боже, не нужно считать на калькуляторе , а вот угол в большинстве случае следует упростить. Как упростить? Образно говоря, нужно избавиться от лишних оборотов. Один оборот составляет  радиан или 360 градусов. Выясним сколько у нас оборотов в аргументе . Для удобства делаем дробь правильной: , после чего становится хорошо видно, что можно убавить один оборот: . Надеюсь всем понятно, что  и  – это один и тот же угол.

Таким образом, окончательный ответ запишется так:

Любители стандартов везде и во всём могут переписать ответ в виде: (т.е. убавить еще один оборот и получить значение аргумента в стандартном виде).

Хотя  – ни в коем случае не ошибка.

Пример 11

Дано комплексное число , найти . Полученный аргумент (угол) упростить, результат представить в алгебраической форме.

Это пример для самостоятельного решения, полное решение и ответ в конце урока.

Отдельная разновидность задачи возведения в степень – это возведение в степень чисто мнимых чисел.

Пример 12

Возвести в степень комплексные числа , ,

Здесь тоже всё просто, главное, помнить знаменитое равенство.

Если мнимая единица возводится в четную степень, то техника решения такова:

Если мнимая единица возводится в нечетную степень, то «отщипываем» одно «и»,  получая четную степень:

Если есть минус (или любой действительный коэффициент), то его необходимо предварительно отделить:

Пример 13

Возвести в степень комплексные числа ,

Это пример для самостоятельного решения.

Возведение комплексного числа в степень

Возведение комплексного числа в степень — это нахождение произведения сомножителей, каждый из которых равен , т.е. .

Правило возведения в степень. При возведении в степень числа (нахождении и ) используется правило возведения в степень двучлена , в общем случае применяется формула бинома Ньютона:

, где .

Пример 1.8. Найти различные степени числа , то есть .

Решение. Имеем . Замечая закономерность, получаем для следующие значения:

Пример 1.9. Найти мнимую и вещественную части комплексных чисел: .

Решение.

Пример 1.10. Возвести комплексное число в пятую степень.

Решение. Используем формулу бинома Ньютона при

Свойства операции комплексного сопряжения

Используя определение сопряженных чисел и правила нахождения суммы, произведения, частного комплексных чисел, можно установить справедливость следующих свойств операции комплексного сопряжения:

В двух последних равенствах и — многочлены с действительными коэффициентами степени и соответственно.

Пример 1.12. Вычислить , если и .

Решение. Используя свойство 4 из пункта 7, находим

Далее, производя деление, записываем число в алгебраической форме:

и подставляем в выражение для . Получаем

поэтому . Окончательно имеем: .

(помощь с решением задач, обсуждение вопросов по математике).

Аргумент комплексного числа

      Рассмотрим радиус–вектор произвольного, но отличного от нуля, комплексного числа   z.

      Аргументом комплексного числа z называют угол φ между положительным направлением вещественной оси и радиус-вектором    z.

      Аргумент комплексного числа  z  считают положительным, если поворот от положительного направления вещественной оси к  радиус-вектору z  происходит против часовой стрелки, и отрицательным  — в случае поворота по часовой стрелке (см. рис.).

      Считается, что комплексное число нуль аргумента не имеет.

      Поскольку аргумент любого комплексного числа определяется с точностью до слагаемого 2kπ , где  k  — произвольное целое число, то вводится, главное значение аргумента, обозначаемое   arg z   и удовлетворяющее неравенствам:

      Тогда оказывается справедливым равенство:

      Если для комплексного числа   z = x + i y   нам известны его модуль   r = | z | и его аргумент φ, то мы можем найти вещественную и мнимую части по формулам

(3)

      Если же комплексное число   z = x + i y   задано в алгебраической форме, т.е. нам известны числа   x   и   y,   то модуль этого числа, конечно же, определяется по формуле

(4)

а аргумент определяется в соответствии со следующей Таблицей 1.

      Для того, чтобы не загромождать запись, условимся, не оговаривая этого особо, символом  k  обозначать в Таблице 1 произвольное целое число.

      Таблица 1. – Формулы для определения аргумента числа   z = x + i y

Расположениечисла  z Знаки x и y Главное значение аргумента Аргумент Примеры
Положительная вещественнаяполуось

x > 0 ,

y = 0

φ = 2kπ

x > 0 ,

y > 0

Положительнаямнимаяполуось

x = 0 ,

y > 0

x < 0 ,

y > 0

Отрицательнаявещественнаяполуось

x < 0 ,

y = 0

π φ = π + 2kπ

x < 0 ,

y < 0

Отрицательнаямнимаяполуось

x = 0 ,

y < 0

x > 0 ,

y < 0

Расположениечисла  z Положительнаявещественнаяполуось
Знаки x и y

x > 0 ,

y = 0

Главноезначениеаргумента
Аргумент φ = 2kπ
Примеры
Расположениечисла  z  
Знаки x и y

x > 0 ,

y > 0

Главноезначениеаргумента
Аргумент
Примеры
Расположениечисла  z Положительнаямнимаяполуось
Знаки x и y

x = 0 ,

y > 0

Главноезначениеаргумента
Аргумент
Примеры
Расположениечисла  z  
Знаки x и y

x < 0 ,

y > 0

Главноезначениеаргумента
Аргумент
Примеры
Расположениечисла  z Отрицательнаявещественнаяполуось
Знаки x и y

x < 0 ,

y = 0

Главноезначениеаргумента π
Аргумент φ = π + 2kπ
Примеры
Расположениечисла  z  
Знаки x и y

x < 0 ,

y < 0

Главноезначениеаргумента
Аргумент
Примеры
Расположениечисла  z Отрицательнаямнимаяполуось
Знаки x и y

x = 0 ,

y < 0

Главноезначениеаргумента
Аргумент
Примеры
Расположениечисла  z  
Знаки x и y

x < 0 ,

y < 0

Главноезначениеаргумента
Аргумент
Примеры

Расположение числа   z :

Положительная вещественная полуось

Знаки x и y :

x > 0 ,   y = 0

Главное значение аргумента:

Аргумент:

φ = 2kπ

Примеры:

Расположение числа   z :

Знаки x и y :

x > 0 ,   y > 0

Главное значение аргумента:

Аргумент:

Примеры:

Расположение числа   z :

Положительная мнимая полуось

Знаки x и y :

x = 0 ,   y > 0

Главное значение аргумента:

Аргумент:

Примеры:

Расположение числа   z :

Знаки x и y :

x < 0 ,   y > 0

Главное значение аргумента:

Аргумент:

Примеры:

Расположение числа   z :

Отрицательная вещественная полуось

Знаки x и y :

x < 0 ,   y = 0

Главное значение аргумента:

π

Аргумент:

φ = π + 2kπ

Примеры:

Расположение числа   z :

Знаки x и y :

x < 0 ,   y < 0

Главное значение аргумента:

Аргумент:

Примеры:

Расположение числа   z :

Отрицательная мнимая полуось

Знаки x и y :

x = 0 ,   y < 0

Главное значение аргумента:

Аргумент:

Примеры:

Расположение числа   z :

Знаки x и y :

x < 0 ,   y < 0

Главное значение аргумента:

Аргумент:

Примеры:

Возведение в степень комплексного числа в тригонометрической форме

Из определения степени и правила умножения чисел, записанных в тригонометрической форме (формула (1.10)), получаем

, где .

Правило возведения в степень. При возведении в степень комплексного числа в эту степень возводится модуль числа, а аргумент умножается на показатель степени:

(1.12)

Записывая число в тригонометрической форме , получаем формулу возведения в степень:

(1.13)

При это равенство принимает вид и называется формула Муавра

(1.14)

Пример 1.21. Найти модуль и аргумент комплексного числа .

Решение. Обозначим . Находим модуль и аргумент числа . Поэтому и . Так как по определению для главного значения аргумента выполняется условие , то .

Пример 1.22. Записать в тригонометрической форме число .

Решение

Обозначим . Находим модули и аргументы чисел и . Для числа имеем: (см. пример 1.21). Для числа последовательно находим: (см. пример 1.19), , или, находя главное значение аргумента: . Таким образом, по формуле (1.10) получаем

и

Записываем число в тригонометрической форме:

Пример 1.23. Используя формулу Муавра, найти выражения для и через тригонометрические функции угла .

Решение

Из формулы (1.14) при имеем . Возведем левую часть в степень, учитывая, что (см. пример 1.8):

Используя условие равенства комплексных чисел, получаем:

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

Adblock
detector